ФЭНДОМ


Определение. Если для подмножества X\in R \exists b : x\le b, то множество X называется ограниченным сверху, а число b - числом, ограничивающим сверху множество X.

Множество x\subset R ограниченно сверху \Leftrightarrow \exists b \in R \forall x \in X : x \le b.


Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество x\subset R не ограниченно сверху \Leftrightarrow \forall  b \in R \exists x \in X : x > b.


Определение. Если для подмножества X\in R \exists  a:x \ge a, то множество X называется ограниченным снизу, а число a - числом, ограничивающим снизу множество X.

Множество x\subset R ограниченно снизу \Leftrightarrow \exists a \in R \forall x \in X : x \ge a.


Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Множество x\subset R не ограниченно снизу \Leftrightarrow \forall  a \in R \exists x \in X : x < a.


Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.


Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X\subset R, называется его верхней гранью и обозначается через  \sup x или  \sup_{x\in X}{{x}} .

\beta - верхняя грань множества \Leftrightarrow x\in X :x\le \beta или \forall \varepsilon > 0 \exists x \in X : x > \beta - \varepsilon.


Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X\subset R, называется его нижней гранью и обозначается через  \inf x или  \inf_{x\in X}{{x}} .

\alpha - нижняя грань множества \Leftrightarrow x\in X :x\ge \alpha или \forall \varepsilon > 0 \exists x \in X : x < \alpha + \varepsilon.


Пример.  \{1,\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\frac{1}{5}...,\frac{1}{n},...\} = A , где  1 = \sup A; 0 = \inf A .


Теорема. \forall ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть X - ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент y \in Y ограничивает сверху множество X, т.е. \forall x \ in X : x \le y. Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, \exist \beta : \forall x \in X и y \in Y имеет место неравенство x \le \beta \le y.

Выполнение неравенства x \le \beta означает, что число \beta ограничивает сверху множество X, а выполнение неравенства \beta \le y для всех y \in Y , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число \beta является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества X: \beta = \sup X.

\exist-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь Y - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству X все числа, ограничивающие снизу множество Y.

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства неперрывности действительных чисел, \exist \alpha : \forall x \in X и y \in Y имеет место неравенство x \le \alpha \le y.

Это означает, что \alpha = \inf Y. Теорема доказана.

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.