ФЭНДОМ


Определение. Последовательность вложенных отрезков [x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_n, y_n] называется последовательностью стягивающихся отрезков, если \forall \varepsilon  > 0 \exist N \in N  : \forall n > N  \mid y_n - x_n \mid < \varepsilon.

Теорема.

Если [x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_n, y_n] - последовательность стягивающихся отрезков, то \exist! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

\{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}, \{{y_n\}}^{\infty}_{n=1}.

Множество \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1} ограничено сверху \forall y_n \Rightarrow \exist \sup x_n = \alpha; x_n \le \alpha, x_n \le y_k \forall n,k.

Множество \{{y_n\}}^{\infty}_{n=1} ограничено снизу \forall x_n \Rightarrow \exist \inf y_n = \beta; y_n \ge \beta, y_n \ge x_k \forall n,k.

\alpha, \beta \in [x_n, y_n], \forall n; x_n \le \alpha \le y_n; x_n \le \beta \le y_n.

Покажем, что \alpha \le \beta.

Предположим, что \alpha \ge \beta. Тогда \exist x_n, y_n: x_n > y_n, чего быть не может.

Предположим, что \alpha \le \beta. Тогда \beta - \alpha = 0. Положим \varepsilon = \beta - \alpha.

\forall \varepsilon > 0 \exist N (\varepsilon): \forall n > N (\varepsilon) (y_n - x_n) < \varepsilon.

\exist n_0: \varepsilon = \beta - \alpha \le y_n - x_n < \varepsilon. (*)

Значит, \alpha = \beta.

Предположим, что \exist другая точка \gamma, общая для всех отрезков: 1) \gamma = \alpha ;2) \gamma > \alpha ;3) \gamma < \alpha . Но пункты 2), 3) невозможны, т.к. (*).

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.